Дж.Р. Лукас не может неоспоримо утверждать, что это предложение истинно.

Если бы Лукас подтвердил истинность этого предложения, то он бы противоречил самому себе, поэтому Лукас не может неоспоримо подтвердить истинность данного предложения, а это означает, что оно должно быть истинным. (Это предложение не может быть ложным, поскольку, если бы Лукас не мог неоспоримо его подтвердить, то оно было бы истинным.) Таким образом, мы продемонстрировали, что есть такое предложение, которое Лукас не может неоспоримо подтвердить, тогда как другие люди (и машины) могут. Но из-за этого никто не вправе изменить своего мнения о Лукасе в худшую сторону. В качестве еще одного примера укажем, что ни один человек за всю свою жизнь не сможет вычислить сумму 10 миллиардов десятизначных чисел, а компьютер способен выполнить такую операцию за секунды. Тем не менее мы не рассматриваем этот факт как свидетельство фундаментального ограничения способности человека мыслить. Люди вели себя интеллектуально за тысячи лет до того, как изобрели математику, поэтому маловероятно, что способность формировать математические рассуждения играет более чем периферийную роль в том, что подразумевается под понятием интеллектуальности.

В-третьих (и это — наиболее важное возражение), даже если принять предположение, что компьютеры ограничены в том, что они способны доказать, нет никаких оснований считать, будто эти ограничения не распространяются на людей. Слишком легко вести этот спор, строго доказав, что формальная система не может выполнить действие X, а затем сообщив, что люди могут выполнить действие X, используя свои человеческие неформальные методы, но не дав ни одного свидетельства в пользу этого утверждения. И действительно, невозможно доказать, что на формальные рассуждения, проводимые людьми, не распространяется теорема Гёделя о неполноте, поскольку любое строгое доказательство само должно содержать формализацию способностей человеческого гения, которые, как многие утверждают, являются неформализуемым, и поэтому должно опровергать само себя. Таким образом, нам остается лишь прибегать к интуитивному представлению о том, что люди иногда способны проявлять сверхчеловеческие черты математического прозрения. Подобные утверждения выражаются в виде доводов: "мы должны быть уверены в том, что мы мыслим правильно, поскольку иначе мышление вообще становится невозможным" [961]. Но если об этом зашла речь, то давно известна склонность людей совершать ошибки. Это, безусловно, касается повседневной мыслительной деятельности, но справедливо также в отношении плодов математических рассуждений, полученных в результате упорной работы. Одним из известных примеров является теорема о раскраске карты четырьмя цветами. Математик Альфред Кемпе опубликовал в 1879 году доказательство этой теоремы, которое было широко признано и стало одним из поводов к избранию этого математика в состав членов Королевского общества. Но в 1890 году Перси Хивуд указал на ошибку в этом доказательстве, и теорема оставалась недоказанной до 1977 года.