Аксиомы вероятностей могут рассматриваться как ограничивающие множество вероятностных убеждений, которых может придерживаться некоторый агент. Такой подход в определенной степени подобен логическому подходу, согласно которому, например, логический агент не может одновременно быть уверенном в истинности высказываний. Тем не менее в вероятностном подходе возникает дополнительное усложнение. В логическом случае семантическое определение конъюнкции означает, что, по меньшей мере, одно из трех только что упомянутых убеждений должно быть ложным в этом мире, поэтому для любого агента неразумно было бы сохранять уверенность в истинности этих трех высказываний. Но в случае вероятностей, с другой стороны, утверждения относятся не непосредственно к самому миру, а к собственному состоянию знаний агента. В таком случае, почему агент не мог бы иметь приведенное ниже множество убеждений, которое явно нарушает аксиому 3?

(13.3)

Такого рода вопрос был предметом яростных дебатов, продолжавшихся в течение нескольких десятилетий, между теми, кто отстаивал допустимость использования вероятностей как единственной обоснованной формы оценки степеней уверенности, и теми, кто отстаивал альтернативные подходы. В данном разделе мы приведем один довод в пользу аксиом вероятностей, впервые сформулированный в 1931 году в работах Бруно де Финетти (Bruno de Finetti).

Ключом к этому доводу де Финетти является связь между степенью уверенности и действиями. Идея состоит в том, что если агент имеет некоторую степень уверенности в истинности высказывания а, то агент должен быть способен сформулировать оценку того, в какой степени он безразличен к ставке за или против высказывания а. Рассмотрим эту ситуацию как игру между двумя агентами: агент 1 утверждает "моя степень уверенности в истинности события а равна 0,4". Затем агент 2 вправе выбрать, будет ли он делать ставку за или против высказывания а, применяя суммы, которые совместимы с заявленной степенью уверенности. Это означает, что агент 2 может решить сделать ставку на то, что событие а произойдет, поставив 4 доллара против 6 долларов агента 1. С другой стороны, агент 2 может поставить 6 долларов против 4, что А не произойдет7. Если степень уверенности агента не точно отражает состояние мира, можно вполне рассчитывать на то, что в долговременной перспективе он будет проигрывать деньги агенту-противнику, убеждения которого более точно отражают состояние мира.