Предположим, что имеются η атрибутов, каждый из которых имеет d различных возможных значений. Чтобы определить полную функцию полезности, в худшем случае требуетсязначений. Итак, наихудший случай соответствует ситуации, в которой предпочтения агента вообще не отличаются какой-либо регулярностью. Теория многоатрибутной полезности основана на гипотезе о том, что предпочтения типичных агентов более структурированы по сравнению с указанной ситуацией. Основной подход состоит в том, что следует выявлять регулярные структуры в том поведении агента по отношению к предпочтениям, которое, по всей вероятности, будет наблюдаться в действительности, и использовать так называемые теоремы представления для обоснования того, что агент со структурой предпочтений определенного рода имеет следующую функцию полезности:

где f, в соответствии с оптимистическим предположением, представляет собой простую функцию, такую как сложение. Обратите внимание на то, что попытка определить структуру предпочтений аналогична использованию байесовских сетей для декомпозиции совместного распределения вероятностей нескольких случайных переменных.

Предпочтение без неопределенности

Начнем с детерминированного случая. Напомним, что для детерминированных вариантов среды у агента имеется функция значений; цель состоит втом, чтобы представить эту функцию в более краткой форме. Основное свойство регулярности, которое наблюдается в детерминированных структурах предпочтений, называется независимостью предпочтений. Два атрибута, Х1 и Х2, являются независимыми по предпочтениям от третьего атрибута, Х3, если предпочтение между результатамине зависит от конкретного значения х3 для атрибута х3..

Возвращаясь к примеру с аэропортом, в котором нужно было рассмотреть (кроме других атрибутов) атрибуты Noise (Шум), Cost (Стоимость) и Deaths (Количество смертных случаев), можно предположить, что атрибуты Noise и Cost независимы по предпочтениям от атрибута Deaths. Например, если мы предпочтем состояние с 20 000 людей, проживающих в районах, над которыми выполняются полеты, и стоимостью строительства 4 миллиарда долларов, состоянию с 70 000 людей, проживающих в районах полетов, и стоимостью 3,7 миллиарда долларов, притом что уровень безопасности в обоих случаях равен 0,06 смертей в расчете на миллионный пассажирооборот, то будем иметь одни и те же предпочтения, когда уровень безопасности равен 0,13 и когда он равен 0,01. Такие же отношения независимости имеют место для предпочтений между любыми другими парами значений атрибутов Noise и Cost. Очевидно также, что атрибуты Cost и Deaths независимы по предпочтениям от Noise, a Noise и Deaths независимы по предпочтениям от Cost. В этих случаях принято считать, что множество атрибутов {Noise, Cost, Deaths} обнаруживает свойство взаимной независимости по предпочтениям (Mutual Preferential Independence — MPI). Согласно свойству МРI, вне зависимости от того, насколько важен каждый атрибут, он не влияет на отношения, в которых другие атрибуты сопоставляются друг с другом.