Вернемся к синтаксису языка. Нетерпеливый читатель может найти полное описание формальной грамматики логики первого порядка в листинге 8.1.

Листинг 8.1. Синтаксис логики первого порядка с оператором равенства, заданный в форме Бэкуса—Наура. (Для ознакомления с этой системой обозначений см. с. 1297.) В этом синтаксисе предусмотрены строгие правила применения круглых скобок; примечания, касающиеся круглых скобок и предшествования операторов, приведенные на с. 296, равным образом относятся и к логике первого порядка

Основными синтаксическими элементами логики первого порядка являются символы, которые обозначают объекты, отношения и функции. Поэтому сами символы подразделяются на три типа: константные символы, которые обозначают объекты; предикатные символы, которые обозначают отношения, и функциональные символы, которые обозначают функции. Примем соглашение, что имена этих символов будут начинаться с прописных букв. Например, могут использоваться константные символы Richard и John; предикатные символы Brother, OnHead, Person, King и Crown и функциональный символ LeftLeg. Как и применительно к пропозициональным символам, выбор имен этих символов полностью предоставляется пользователю. Каждый предикатный и функциональный символ характеризуется арностью, которая определяет количество формальных параметров.

Семантика должна связывать высказывания с моделями, для того чтобы можно было определить истинность. Чтобы иметь возможность решить такую задачу, требуется интерпретация, которая определяет, на какие именно объекты, отношения и функции ссылаются те или иные константные, предикатные и функциональные символы. Одна из возможных интерпретаций для рассматриваемого примера (которую мы будем называть намеченной интерпретацией) состоит в следующем:

•    Символ Richard обозначает Ричарда Львиное Сердце, а символ John — злого короля Джона.

•    Символ Brother обозначает отношение родства между братьями, т.е. множество кортежей объектов, приведенное в уравнении 8.1; символ OnHead обозначает отношение "быть на голове", которое установлено между короной и королем Джоном; символы Person, King и Crown относятся к множествам объектов, представляющих собой людей, королей и короны.

•    Символ LeftLeg относится к функции "быть левой ногой", т.е. к отображению, приведенному в уравнении 8.2.