Как было указано выше, оператор Forward для фильтра Калмана отображает одно гауссово распределение на другое, новое гауссово распределение. Применение этого оператора сводится к вычислению новых значений среднего и матрицы кова-риации из предыдущих значений среднего и матрицы ковариации. Для вывода правила обновления в общем (многомерном) случае требуется большой объем выкладок в линейной алгебре, поэтому пока остановимся на очень простом одномерном случае, а позже будут даны результаты для общего случая. Но даже в одномерном случае вычисления являются довольно трудоемкими; тем не менее авторы считают, что с ними следует ознакомиться, поскольку применимость фильтра Калмана слишком тесно связана с математическими свойствами гауссовых распределений.

Во временной модели, которая будет здесь рассматриваться, представлено случайное блуждание единственной непрерывной переменной состояния, зарегистрированное с помощью зашумленных результатов наблюдения. Одним из соответствующих примеров может служить показатель "доверия потребителя", который может быть промоделирован как переменная, подвергающаяся каждый месяц случайному изменению с вероятностью, представленной с помощью гауссова распределения, и измеряемая с помощью опроса случайно выбранных потребителей, в котором также вносится гауссов шум формирования выборки. Предполагается, что распределение априорных вероятностей является гауссовым, с дисперсией

(Для упрощения в этом разделе мы будем использовать один и тот же символ α для обозначения всех констант нормализации.) В модели перехода просто добавляется гауссово возмущение постоянной дисперсиик текущему состоянию:

Это означает, что в модели восприятия должно быть принято предположение о наличии гауссова шума с дисперсией:

Теперь, после получения распределения априорных вероятностей, мы можем

вычислить распределение, прогнозируемое на один этап, с помощью уравнения 15.15:

На первый взгляд этот интеграл кажется довольно сложным. Ключом к его упрощению может стать такое замечание, что экспонента представляет собой сумму двух выражений, которые квадратично зависят от, и поэтому сама экспонента квадратично зависит от х0. Но известно, что любое квадратное уравнение может быть перезаписано как сумма терма, возведенного в квадрат,, и остаточного терманезависимого от, с помощью преобразования, называе-

мого дополнением квадрата. Поэтому остаточный терм может быть вынесен за пределы интеграла, что приводит к получению следующего уравнения: