Представьте себе, что вы внимательно следите за маленькой птицей, летящей через плотную листву джунглей в сумраке: вы замечаете краткие промежуточные этапы движения и пытаетесь угадать, где сейчас находится птица и где она появится в следующий раз, чтобы ее не потерять. Или вообразите себя на месте оператора радара во Второй мировой войне, который напряженно вглядывается в крошечный, блуждающий блик, появляющийся на экране через каждые 10 секунд. А если вернуться в прошлое еще дальше, вообразите, что вы, как Кеплер, пытаетесь реконструировать орбиты движения планет из совокупности крайне неточных угловых измерений, полученных через нерегулярные и неточно измеренные интервалы времени. Во всех этих случаях осуществляется попытка оценить показатели состояния физической системы (например, положение и скорость) на основе зашумленных результатов наблюдений во времени. Эту задачу можно сформулировать как вероятностный логический вывод во временной вероятностной модели, где модель перехода описывает физические основы движения, а модель восприятия описывает процесс измерения. В данном разделе рассматриваются специальные формы представления и алгоритмы вероятностного вывода, которые были разработаны для решения задач такого рода; описанный здесь метод называется калмановской фильтрацией в честь его разработчика Рудольфа Э. Калмана.

Очевидно, что для определения состояния этой системы требуется несколько непрерывных переменных. Например, траектория полета птицы может быть задана с помощью данных о положении (X,Y,Z) и скорости (X,Υ,Ζ) в каждый момент времени. Необходимо также иметь соответствующие плотности условных вероятностей для представления модели перехода и модели восприятия; как и в главе 14, в данной главе будут использоваться линейные гауссовы распределения. Это означает, что следующее состояниедолжно представлять собой линейную функцию от текущего состоянияс добавлением какого-то гауссова шума, а такое предположение, как оказалось, является весьма оправданным на практике. Рассмотрим, например, координату X птицы, игнорируя на данный момент все другие координаты. Допустим, что интервал между наблюдениями равен Δ, и предположим, что птица летит с постоянной скоростью; в таком случае данные об обновлении ее положения определяются с помощью следующего уравнения:

Если мы введем в него гауссов шум, то получим линейную гауссову модель перехода:

Структура байесовской сети для системы с переменными, описывающими положение Xt и скорость Xt, показана на рис. 15.5. Обратите внимание на то, что это — весьма специфичная форма линейной гауссовой модели; общая форма этой модели будет описана ниже в этом разделе; она охватывает колоссальный спектр приложений, выходящий за пределы простых примеров моделирования движений, приведенных в первом абзаце данного раздела. Читателю может потребоваться обратиться к приложению А для ознакомления с некоторыми математическими свойствами гауссовых распределений; для наших непосредственных целей наиболее важным из них является то, что многомерное гауссово распределение для d переменных задается d-элементным средним μ и матрицей ковариации Σ с размерами dxd.