Задача предсказания может рассматриваться просто как фильтрация без добавления новых свидетельств. В действительности процесс фильтрации уже включает од-ношаговое предсказание, и поэтому можно легко вывести следующую формулу рекурсивного вычисления для предсказания состояния в момент времени t+k+Ι на основании предсказания для t+k\

(15.4)

Естественно, что в этом вычислении участвует только модель перехода, а не модель восприятия.

Интересно рассмотреть, что произойдет при попытке предсказывать все дальше и дальше в будущее. Как показано в упр. 15.2, б, прогнозируемое распределение для дождя сходится к фиксированной точке <0.5, 0.5>, после чего продолжает оставаться неизменным. Это — так называемое стационарное распределение для марковского процесса, определяемого с помощью модели перехода (см. также с. 1). О свойствах таких распределений ио продолжительности смешивания (грубо говоря, о затратах времени, необходимых для достижения фиксированной точки) известно очень многое. С точки зрения практики эти знания сводятся к печальному выводу, что любая попытка предсказать фактическое состояние для количества этапов, составляющего не больше чем небольшую часть количества, соответствующего продолжительности смешивания, обречена на неудачу. Чем более неопределенной является модель перехода, тем короче будет продолжительность смешивания и тем более туманным становится будущее.

Рекурсия в прямом направлении может использоваться не только для фильтрации и предсказания, но и для вычисления правдоподобия последовательности свидетельств,. Такое значение может оказаться применимым, если потребуется сравнить различные времеиные модели, которые способны вырабатывать одну и туже последовательность свидетельств; например, в разделе 15.6 сравниваются различные слова, при произношении которых может создаваться одна и та же последовательность звуков. Для такой рекурсии используется сообщение о правдоподобии . Несложно показать, что справедливо следующее соотношение:

После вычисленияполучим фактическое значение правдоподобия, исключая путем суммирования значение: